大宇宙小故事：擦肩而过

如果我说：某人有1234本藏书，你一定知道是什么意思。因为“印度(阿拉伯)数字”早已是我们生活的一部分，你一看到1234，直觉就会将它解读为“一千二百三十四”。
这套源自印度的数字系统之所以流行全世界，主要有两个原因：
1.只有十个符号(0， 1， 2...9)，易学易记。
2.采用“位数制”，例如1234分别对应“千位”、“百位”、“十位”、“个位”。
只要仔细想想，你一定会同意，这两个原因的重要性有天壤之别。
0， 1， 2...虽然易学易记，但如果改成其他符号，顶多增加书写的麻烦，不会造成实质上的困难。但是如果舍弃“位数制”，可就要天下大乱了。
千万别小看位数制，它实在来之不易;在印度数字发明之前，人类有好几次跟它擦肩而过的纪录。
例如早在西周时代，中国人就把1234写成“一千二百三十四”，只要再少写几个字，简化成“一二三四”，那就是位数制了。只可惜没有人这么做，因为当时中国尚未出现“零”的概念，碰到1034这样的数字，只能写成“一千(又)三十四”，根本无从简化。
顺带一提，中文的“零”原来只有“化整为零”之类的用法，换言之1>零>0。直到公元八世纪，由于印度数字传入中原，才多了一个“零=0”的定义。
其他古文明有没有擦肩而过的例子呢？当然有！古希腊和罗马时代的学者，其实都有机会发明位数制。且让我们先从罗马讲起，因为罗马数字目前仍旧通用，大家或多或少见过。
罗马数字只有七个符号，但由于并非位数制，而且里面隐藏了加减法，常常让人看得眼花撩乱。比方说：
1， 2， 3的罗马数字是I， II， III(所以第一个符号是I);
4， 5， 6， 7， 8的罗马数字是IV， V， VI， VII， VIII(出现一个新符号V);
9， 10则是IX， X(又出现一个新符号X);
20， 30...80是XX， XXX， XL， L， LX， LXX， LXXX(又出现一个新符号L);
90， 100是XC， C(又出现一个新符号C);
200， 300...800是CC， CCC， CD， D， DC， DCC， DCCC(又出现一个新符号D);
900， 1000， 2000， 3000是CM， M， MM， MMM(出现最后一个符号M)。
至于更大的数，罗马人当然也有办法，但因为不太常见，在此就不介绍了。
接下来讨论一个有趣的问题：罗马数字到底是几进位？
正确答案是：罗马数字采用“双五进位”，可以算是一种特殊的十进制，但绝对不是五进位。原因很简单，如果是五进位，五的平方(25)应该拥有特殊的符号，而不是平淡无奇的XXV。
既然提到“双五进位”，顺便探讨一下它的来源吧。
大家都知道，人类共有十根手指，所以古今中外的文明大多采用十进制。不过，这些指头平均分配在两个手掌上，当我们用手指计数时，实际上已经在实践双五进位。
此外就人类的视力而言，七、八个东西摆在一起就容易看走眼，所以用“五”当基本单位是很好的选择(中文字的“正”便有这个妙用，欧美则习惯用四竖一撇)。
再回到罗马数字上，它的优点是古朴典雅，缺点则是不利于计算。原因之一刚才已经提到，它的“造字规则”隐含了加法与减法，另一个(次要的)原因则是每个数字长短不一。
例如26+73=99这个加法，用罗马数字表示是XXVI+LXXIII=XCIX(请想想要用到多少心算)。这还只是加法而已，如果换成乘法，当然会可怕许多倍。
那些雄伟的古罗马建筑又是怎么建造的呢？可能性只有下列三种：
1.当时的工程师使用罗马数字辛辛苦苦进行计算。
2.他们发明了避免复杂计算的建筑工法。
3.他们拥有计算加减乘除的工具。
在公布答案前，先提供一个线索：英文的“计算”(calculation)与“钙”(calcium)是不是好像有亲戚关系？
没错，两者其实同出一源(字根是拉丁文的“石灰石”)。这意味着罗马人曾经用石头当计算工具──不是大石头，而是磨成珠状的小石子。将这些石子放在特制的盘子里，就是一个轻便实用的计算工具，所谓的“罗马算盘”。
罗马算盘和华人熟悉的算盘相似度有多少呢？一张图胜过千言万语，请大家自己看看下面这个“复刻版”的照片以及一幅古老的图画(实物大小不超过手掌)。

图像来源：维基百科
一眼就能看出来，罗马算盘的“位数”非常明显，这是它和罗马数字最大的不同，也正是它便于计算的主因。至于罗马算盘和中国算盘的差异，其实只差在珠子有没有穿洞而已。比方说，中国算盘是标准的双五进位，罗马算盘也一样。
令人难以置信的是，罗马人一直把这种算盘当成实体的计算工具，从未想到把它转移到书面上。因此罗马工程师在做计算时，会先根据罗马数字拨弄算珠(等于转换成“位数制”)，最后再把计算结果(在心中做一次反转换)用罗马数字写在羊皮纸上。
当年如果有人把罗马算盘“虚拟化”，整个欧洲的数学史想必会改写。
讲完罗马，就该回溯古希腊了。古希腊学者利用他们的字母，再加上一些符号，创立了古希腊数字系统──没有隐性的加减法，而且也是十进制。如果你用古希腊数字写1333， 会刚好用到四个符号;换句话说，古希腊数字也是将1333分解为1000+300+30+3来呈现。
看起来跟“印度(阿拉伯)数字”很像吗？别急着下结论。古希腊数字用不同的字母代表300， 30， 3(分别是τ， λ， γ， 上面加一条横线，表示被借来当数字)，所以并没有你想像中那么简单。

因此之故，包括阿基米德在内的古希腊学者，当他们在做复杂计算的时候，同样需要使用辅助工具。它和罗马算盘大同小异，但因为上面没有凹槽，所以称为算板比较贴切。
下图是考古学家于1846年在爱琴海(萨拉米斯岛)发现的希腊算板，有人认为只要把它转九十度，就等于是罗马算盘。不过，大多数学者认为这种算板的“五位数”夹在“个位数”和“十位数”之间(罗马算盘则是“五位数”和“个位数”在同一排)，其他位数以此类推，所以这个问题目前还没有定论。另一方面，希腊算板采用双五进位则是学界的共识，所以它很可能是古今中外所有算盘的老祖宗。

图像来源：维基百科
古希腊的大数学家不在少数，当他们在使用这种算板的时候，怎么都没想到将它虚拟化？或许并非他们数学功力不够，而是受到心理因素的影响。这是个非常耐人寻味的问题，可惜好像没有人认真研究过。
最后一个擦肩而过的例子，八成也和心理障碍有关。
如果前三个例子令你觉得可惜，最后这个恐怕会让你扼腕。且说早在战国时代，中国数学家就发明了所谓的“筹算”。如今我们常用的成语“运筹帷幄”、“略胜一筹”乃至“一筹莫展”，都是从这种计算工具衍生来的。
顾名思义，筹算是使用“筹”当工具的算术。至于“筹”是什么，请把它想成一堆竹筷子即可。换句话说，你只要抓一把竹筷子，然后席地而坐，立刻就能进行筹算。要是地上刚好有方格(例如磁砖地板)，那就更方便了，因为每个方格可以代表一个“位数”。
下图是用“筹”排出的两个数：71824与63059。

从这两个例子，不难看出筹算也是采用双五进位。如果你不介意，我们就将这些“筹算的代码”简称为“筹码”吧。
在排列筹码的时候，为了避免混淆，必须直排和横排交错。所以在代表71824的筹码中，7， 8， 4是直排，1， 2则是横排。
第二个例子明白显示0以“空格”代表，所以就筹码本身而言，不折不扣是“位数制”。战国时代的学者只要把筹码抄到竹简上，就能提早一千年发明出等同于印度数字的系统。
可惜的是(以下只是一家之言)或许由于竹简来之不易，必须尽量节约使用，所以中国的古文总是挤在一起，没有空格的习惯。久而久之，这种习惯深化为“文化基因”，就不可能再有人违背了。
所以，又是一次擦肩而过，而且应该是距离最近的一次！
注一：有些学者认为筹码是印度数字的前身，但这并非学界的主流观点，原因之一是印度数字的写法毫无双五进位的影子。此外，也有学者认为中国算盘是筹码的后裔，不过同样只是一家之言。
注二：至于罗马算盘和中国算盘有没有渊源，目前仍旧没有定论。但可以肯定的是：(1)罗马算盘早于中国算盘;(2)中国在东汉时代就和罗马帝国有商业往来。