电导率、弱局域化、与量子混沌（上）

尽管古典的图像提供了学者们最初阶的电导计算能力，但量子效应中不同物质波的建设性干涉仍提供了不容忽视的修正。
理论物理学的目的是为物理现象提供一些定量的描述。也因此一个完整的物理理论，应该能计算一些可观测的物理量。基于人类对电磁现象的掌握，在可测量的一系列物理量中，电阻率(resistivity)，或者是它的倒数，电导率(conductivity)，大概是最直接的对象了，也因此，本文想趁机谈谈在一些问题中，物理学家如何从理论模型中得到电导率，而又有哪些因素会影响电导率。
电导率或者电导之所以直觉，是因为他的定义单纯：只消在实验室中打开一个电场(或电位差)，然后量测电流的响应[1]，电导率即是电流与电场间[2]的比例常数。
电流可以想成是微观带电粒子流动造成的现象。如果系统内的带电粒子在外加电场中，长时间尺度下拥有一个平均的漂移速度(drift velocity)巨观而言我们会看到带电的粒子流往某个方向走，就是电流。要研究电流，核心的问题就是粒子在施加电场后有多会跑。
在剩下的篇幅我们尝试谈论这个问题跟一些特征的时间尺度。

图一：计算 weak localization 时会遭遇的 Feynman 图。(我觉得他们看起来满可爱的。)
从最古典的图像出发，一个带电粒子在电场下感受到电磁力，依循牛顿定律 F = ma 进行加速度运动。如果没有东西去拦着它，它就会越跑越快，如此一来，长时间下测量到的电导率会是无限大。然而，在一个系统中，还有许多许多的带电粒子跟其他原子等等结构，上述的粒子没有办法畅快地加速，反之，它会步履蹒跚地一路碰撞。简约地描述这些碰撞效果的参数是“弛豫时间”(relaxation time)，它代表平均而言，这个粒子多久会遭遇一次碰撞，这个效果等同一个阻力，长时间下来会形成“力平衡”[3]，而粒子们终将达到飘移速率，反映成有限的直流电导率。[4]
接着来想量子效应带来什么效果[5]。
在量子力学的框架下，粒子具有波动性，谈论一个粒子的绝对位置已经不合适(因为我们还要谈论它的动量、能量)根据不确定性原理(uncertainty principle)，粒子位置的精确度只能[6]到达它的德布罗伊波长(de Broglie wavelength)，这个波长定义了一个长度的尺度，如果这个波长跟“平均自由径”[7]相比很小，使得这个波包看起来还是像个粒子，我们便称这个问题是准古典(semi-classical)的。

图二：以费曼图计算电导时在古典与第一阶量子修正中需要计算的图。
根据费曼，一个粒子从一个点 A 到另一个点 B，它会考虑所有可能的路径，每一条路径都贡献一个机率振幅，将所有的机率振幅加总取绝对值平方后，就是粒子从点 A 到点 B 的机率。在准古典的极限，因为不同路径间的波包的破坏性干涉，贡献最大的的确是个别路径的机率和。
若今天 A 跟 B 是同一个点 O，意即考虑一个粒子从某点出发后，又回到原来那一点的机率，上面这个论述依旧成立，但值得注意的是有些路径间两个波可以有“建设性干涉”(见图三)，简单的估计可以发现，考虑这些量子的建设性干涉，粒子回到原点的机率是古典的 2 倍！

图三：计算从某一点出发回到原点的机率时，蓝路径跟红路径(基本上就是蓝路径的倒带版本)会有建设性干涉，也因此当考虑量子效应，粒子会比较想要回到原处。
当粒子比较容易回到原点，就表示它比较不容易流走，也从而提升了电阻、减弱了电导。此现象的基础是物质波之间的干涉，但波与波之间的相干性(coherence)很可能在与杂质散射的过程中减弱，这个效果在现象学上由另外一个时间尺度“相干时间”(coherence time)描述，代表平均经历多长的时间，波包间会丧失相干性。在低温，这个与杂质和交互作用强度无关，而跟空间维度有关的现象称为弱局域化(weak localization)。在2维系统局域化的强度正比于相干时间与弛豫时间的比值的对数。
至于混沌现象如何切入来影响弱局域化的结论，就让我们在下文讨论。
注解：
[1] 当然实际上的操作没这么单纯，但大概念上是如此。
[2] 更精确地讲是电流密度与电场间。
[3] 瞬时来看当然没有平衡，这是一个长时间后的净效果。
[4]这个看法在量子力学出现以前已经存在，教科书中称之为 Drude model，令人惊讶的是，即便考虑第一阶的量子力学修正，整个解的形式并没有改变，仅仅修正弛豫时间的强度。
[5] 读者们可以去复习某一期探索，这边讲述的术语应该在那里都找得到。
[6] 我并不是在说量测，而是即便在理论上“谈论”，我都不应该超过这个精确度。
[7]约略而言是弛豫时间乘上费米速度，也就是一个粒子平均走多远会碰撞一次。原则上是要考虑经过量子修正的，因为不是所有的碰撞都会影响电导的效能。