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《奥本海默》中被遗忘的火星人数学家冯纽曼和波利亚

电影《奥本海默》中，对于几位匈牙利数学家如冯纽曼、波利亚等人的描述篇幅较少，但他们其实对科学界影响深远。

冯纽曼在曼哈顿计划中建议以内爆透镜设计原子弹，不仅所需的裂变材料较少，又可以防止原子弹过早引爆，达成更对称与高效的爆炸。

波利亚提出以“捷思法”等强调归纳实验的方式思考数学问题，例如观察找出数学公式的形成，此法也掀起了数学教育革命。

游艇缓缓流动在分隔布达区（Buda）与佩斯区（Pest）的多瑙河上，丝绒般的水波、柔棉沁凉的河风，兼容哥德式与文艺复兴建筑风格的匈牙利国会大厦（Hungarian Parliament Building）圆顶，在夕阳的烘托之下宛如红宝石般璀璨，流泻出昔日奥匈帝国的风华。

笔者来到此地，终于可以想象为何 100 年前这条河的两岸能够孕育出一批改变科学面貌，甚至改变人类历史的数学家与科学家。趁着今（2023）年暑假到布达佩斯开会之便，笔者也试着踏寻这些科学家的足迹。

恰逢电影《奥本海默》（Oppenheimer）近期上映，尽管许多人聚焦在主角奥本海默（Julius Oppenheimer）的内心世界，不过笔者更关心的是几位被火星人遗留在地球上的匈牙利数学家。

地球上的火星遗民

20 世纪初欧美科学圈流传着一个神秘的传说，记录下这传说的是匈牙利物理学家马克思（György Marx），但传说起源却得从意大利物理学家费米（Enrico Fermi）说起。

1950 年某个夏日午后，费米在美国原子弹曼哈顿计划（Manhattan Project）的基地——洛斯阿拉莫斯国家实验室（Los Alamos National Laboratory），和几位科学家聊到当时有关幽浮的报道时，提出了一个问题：

“宇宙如此浩瀚，包含无数恒星，许多恒星和太阳没什么差别，也有行星围绕着它们旋转。一部分的行星地表也会有水和空气，而来自恒星的能量将促使有机化合物合成。

这些化学物质将相互结合产生一个自我复制系统。最简单的生物会通过自然选择繁殖、进化并变得更加复杂，直到最终出现活跃的、会思考的生物，文明、科学和科技随之而来。

由于对美丽新世界的渴求，他们会旅行到附近行星，然后到另一个恒星的行星。他们最终应该遍布整个银河系。这些非凡和杰出的人很难忽视像地球这样美丽的地方。

所以，如果真是如此，他们必定来过这里。那么，他们到底在哪里?”

关于这个“费米问题”，匈牙利物理学家西拉德（Leo Szilard）的回应是：“他们就在我们身边啊!只是他们自称匈牙利人!”（They are among us, but they call themselves Hungarians.）。

西拉德的高级幽默，点燃匈牙利人是火星遗民的想象，各种附和的说法纷纷出笼。有一种说法是 19 世纪末至 20 世纪初，一艘来自火星的太空船降落在地球，由于发现匈牙利的女子美丽又性感因而定居下来，继而繁衍后代。

后来太空船要返回火星时超重，不得不将一些人留下，这些人包括建议当时美国总统罗斯福（Franklin Roosevelt）发展原子弹的信函主要起草人西拉德、协助润稿的泰勒（Edward Teller）和诺贝尔物理学奖得主维格纳（Eugene Wigner），还有化学奖得主欧拉（George Olah）与波拉尼（John Polanyi）、经济奖得主哈萨尼（John Harsanyi）;以及数学家艾迪胥（Paul Erds）、波利亚（George Pólya）、冯纽曼（John von Neumann）、哈尔默斯（Paul Halmos）、拉克斯（Peter Lax）等人。

这几位科学界的火星遗民有许多共同点：他们都出生于匈牙利。

除了喜欢云游四海的艾迪胥外，他们后来都移居并任教于美国的大学;他们思考问题时都喜欢来回踱步;另有一个最不可思议的共同点——他们都是犹太人。

至于为何火星人特别钟情犹太人?这可能又是另一个“费米问题”。

《奥本海默》的最大遗珠——冯纽曼

笔者本次开会的地点在罗兰大学（Eötvös Loránd University），该校在过去不同时期曾名为布达佩斯大学（University of Budapest）、帕兹马尼-彼得大学（Pázmány Péter Catholic University）。

该校培育出不少数学家与科学家，而冯纽曼是箇中翘楚。

冯纽曼出身于布达佩斯的富裕犹太家庭，父亲是位对他有很深期待的银行家，希望儿子能往化学工程发展，但冯纽曼却对数学情有独钟。有许多关于他的数学传奇事迹，例如 6 岁能心算八位数除法，8 岁熟悉微积分，15 岁开始学高等微积分，19 岁已经发表两篇数学论文。

最后冯纽曼不违父愿也无逆己志，不仅在苏黎世理工学院（Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH）读化工，同时也在帕兹马尼-彼得大学研修数学博士。

有鉴于在 19 世纪末和 20 世纪初，德国数学家康托尔（Georg Cantor）的集合论导致某些推论会产生矛盾难题，即使在当时产生的矛盾并非集合论的核心，但在严格检验非核心的部分时，逻辑上还是会发现一些瑕疵，因此冯纽曼选定了与集合论基础有关的内容深入研究。

他的博士论题目为〈一般集合论的公理化构造〉（Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése），并于 1926 年同时取得两所大学的博士学位。

而后在洛克菲勒基金会（Rockefeller Foundation）的资助下，他前往德国哥廷根大学（University of Göttingen），师从德国数学家希尔伯特（David Hilbert）。

1933 年为逃避纳粹对犹太人的迫害，冯纽曼应聘前往美国普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study），在那里开始专研计算机科学，同时也结识了奥本海默。

冯纽曼（右）和奥本海默（左）。图/科学月刊

建议原子弹采用“内爆式”设计的冯纽曼

由于冯纽曼的博学与优异数学计算能力，奥本海默聘请他作为曼哈顿计划的顾问，主要负责两项任务：一是研究内爆透镜的概念和设计，二是负责预估炸弹爆炸的规模、死亡人数，以及炸弹爆炸的离地距离以达到最大效果。

什么是内爆透镜?当时曼哈顿计划考虑的核分裂方式有两种，一种是“枪式核分裂”（gun-type fission）设计，另一种则是“内爆透镜”（implosion lens）的设计。

枪式核分裂设计是仿造子弹的射击方式，利用常规炸药将一块次临界物质射向另一块可裂变物质，使可裂变物质达到临界质量（图一）。

图一、枪式核分裂设计的原子弹。原理是利用炸药将一块次临界物质射向另一块可裂变物质（铀），使可裂变物质达到临界质量，投掷于广岛的“小男孩”就是采用此设计。图/科学月刊

枪式核分裂使用铀（uranium, U）作为裂变材料，二战时投掷于日本广岛的“小男孩”（Little Boy）就是采用枪式设计。但由于当时铀的存量并不足够，因此必须发展另一种形式的原子弹，也就是内爆透镜设计。

内爆透镜设计以钸（plutonium, Pu）作为裂变材料，在空心的球状空间内放置钸，并在球形钸弹周围放置炸药。这些炸药爆炸同时产生的强大内推压力将会挤压球形钸弹，引发连锁反应造成核爆（图二）。

图二、内爆透镜设计的原子弹。它以钸为裂变材料，空心的球状空间内含钸，并在钸弹周围放置炸药，炸药爆炸时产生的强大内推压力会挤压钸弹，引发连锁反应造成核爆，这也是投放到长崎的“胖子”设计原理。图/科学月刊

冯纽曼评估之后，认为“内爆式”设计优于“枪式”设计，且内爆型原子弹所需的裂变材料较少，又可以防止过早引爆以达成更为对称与高效的爆炸，因此建议奥本海默改发展内爆式核弹，这就是二战时被投放到日本长崎的原子弹——“胖子”（Fat Man）。冯纽曼在曼哈顿计划中的角色如此关键却被电影所忽略，确实令许多人不平。

冯纽曼从小崭露他的优异天赋且记忆力惊人，除数学领域之外在诸多科学分支也有所涉猎且精通。他的聪慧早已获得同侪的认同与赞誉，常被称为数学界最后一位通才。有一个流传甚广的传说是某次宴会中女主人问冯纽曼一个问题：

“两列相距 200 英里的火车正在相向行驶，每辆火车的行驶速度均为每小时 50 英里。一只苍蝇从其中一列火车的前面出发，以每小时 75 英里的速度在火车之间来回飞行，直到火车相撞并将苍蝇压死为止。苍蝇在这段期间总共飞行了多少距离?”

一般人解这一题可能是先算第一段时间苍蝇飞行的距离，再算第二段时间苍蝇飞行的距离，由于苍蝇来回飞行无限多次，距离愈来愈短，可以用无穷等比级数求和的方法得出解，但这样的计算相当繁复。有一个更快捷的技巧是直接算出两辆火车将于两小时后相撞，因此得知苍蝇总共飞行 150 英里。

冯纽曼听完问题不一会儿就答出 150 英里，女主人对于冯纽曼没有陷入计算无穷等比级数的陷阱感到失望，但冯纽曼竟回答：“我是用求和的啊!”若此传说当真，显见他惊人的计算能力。

1963 年诺贝尔物理学奖得主维格纳表示，他认识当代许多顶尖科学家，包含德国理论物理学家普朗克（Max Planck）、英国理论物理学家狄拉克（Paul Dirac）、西拉德、泰勒、爱因斯坦，但没有一个人像冯纽曼般才思敏捷。曾有人问维格纳为什么匈牙利出现这么多天才，维格纳的回答是：“真正的天才只有冯纽曼一人。”

引发数学教育革命的波利亚

本文要介绍的第二位匈牙利数学家是波利亚。1912 年，他于布达佩斯大学取得数学博士学位后，便前往德国哥廷根大学从事博士后研究。他在哥廷根大学结识许多当代最杰出的数学家，例如希尔伯特和克莱因（Felix Klein），之后便到苏黎世理工学院任教。相较于一般严谨木讷的数学家，波利亚相当擅长说故事，包含数学家的轶事和“说数学”的功力。

冯纽曼在苏黎世理工学院修读博士时，也曾上过波利亚的书报讨论课。有次波利亚提到一个尚未解决的数学问题，他认为要证明这问题很困难，没想到五分钟之后冯纽曼举手，然后在黑板上写下证明，从此之后冯纽曼变成他最敬畏的学生。

另外，波利亚也曾谈论有关希尔伯特的故事。在德国盛传一个传说，深受德国人敬爱的皇帝腓特烈一世（Friedrich I）没有死亡、只是沉睡，等到德国需要他时他就会挺身而出。因此便有人问希尔伯特：“你若在死后 500 年复活，你会做什么事?”希尔伯特说：“我会问是否有人证明了黎曼猜想（Riemann hypothesis）?”

黎曼猜想与质数分布具有密切的关系，是希尔伯特于 1900 年提出的 23 个最重要数学问题之一。有些数学家将证明黎曼猜想形容为“数学界的圣杯”，因此它的重要性可见一斑。2018 年 9 月 24 日，英国数学家阿蒂亚（Michael Francis Atiyah）宣称他证明了黎曼猜想，此事件也曾轰动一时。

但阿蒂亚的证明还来不及得到同侪认证，便不幸于 2019 年 1 月 11 离世，截至目前为止数学界仍对阿蒂亚的证明有所质疑。所以如果希尔伯特现在真的死而复活，那他恐怕要失望了。

波利亚于 1945 年出版《怎样解题》（How To Solve It）一书，展现他“说数学”的功力。他常强调数学有两面，数学结果的呈现方式有如欧几里得（Euclid）几何学般的演绎论证形式，但数学知识发展过程却更像是一门实验归纳的科学。书中提倡以捷思法（heuristic）思考数学问题，例如高中时老师通常教学生如何证明 13+23+33+43+⋯+n3=，但却很少说明究竟如何得到此公式。

波利亚则要学生先做探索观察。例如从图三可以发现前五个自然数的立方恰好都等于另一个自然数的平方，这样的特殊性可以推广为“前 n 个自然数的立方和等于某个自然数的平方吗?”若可以推广，某个自然数到底是哪个数?我们进一步观察可以得到：1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5，将这观察和图三结合就得到图四中令人惊讶的结果。

图三、前五个自然数的立方和。图/科学月刊

图四、前五个自然数的立方和等于前五个自然数和的平方。图/科学月刊

这么美丽的结果应该不会只是巧合，所以一个合理的臆测也因此诞生：“前n个自然数的立方和等于前n个自然数和的平方”，也就是 13+23+33+43+⋯+n3=（1+2+3+4+⋯+n）2。由于 1+2+3+4+⋯+n=，所以得到 13+23+33+43+⋯+n3=这个“合理的”公式，接着就可以证明此结果的正确性。

由此我们看到捷思法可以展现一个数学公式形成的过程，如同在《奥本海默》电影中丹麦物理学家波耳（Niels Bohr）建议奥本海默改到哥廷根大学跟从玻恩（Max Born）学习理论物理。

波耳问奥本海默数学程度如何，并提醒他：“代数就像一本乐谱，重点不是你能否读懂音乐，而是能否听懂音乐。”（Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.），波利亚的捷思法就是教我们如何听懂音乐而不光是读懂音乐。

在 1960 年代，美国由于忧虑太空竞赛落后苏联，因而发起所谓“新数学”的中学数学课程改革，强调数学的抽象性，试图让学生早一点熟悉数学逻辑的演绎过程，但这种罔顾知识发展脉络的改革注定以失败告终。

1980 年代，波利亚强调归纳实验思考过程的捷思法逐渐受到重视，掀起一波“数学问题解决”（mathematical problem-solving）的浪潮，而这股浪潮的影响也犹如核分裂的连锁反应，持续至今。