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万物皆混沌？——族群演化、股市、气候变迁背后的神秘公式

你知道有那么一条公式——它不仅可以表述生态系中动物族群的数量变化、城市里人口随时间的变迁，还与金融市场的波动、甚至是气候变迁有所关联?更令人惊奇的是，这个式子并不是什么复杂的偏微分方程，它只有短短一行、就连国小学生都能代入算出。

这个看似相当简单的式子，能推演出极其复杂的图像;而在看似错综复杂的图像背后，却又隐藏着某种未知的神秘规律。今天这篇文章，将带领大家透过这个简单的函数重新认识世界。

自然界潜藏的规律

且让我们先从自然界谈起。假设一片草原上有一群斑马生活着，我们想要知道明年、后年、甚至数十年后的数量;我们知道，这一部分取决于斑马的出生率，还有另一部分取决于环境的负载力——假设斑马的族群总数超过了该草地所能负荷的程度，很可能在往后导致族群的缩减，因此，负载力有点类似于一个约束条件。有了以上的资讯，我们可以尝试用数学来描述：

这边，xn 代表的是“现存族群数量与最大可容纳的族群数量”之比值，你可以想象成：假设这片草原此时此刻有 60 只斑马，而草原所能容纳斑马数量的最大值为 100 只斑马——一旦超过这个值，那么便会面临诸如饥荒等生态危机。因此，在此例子中，x0 = 60/100 = 0.6。而假设我们想知道明年的数量，也就是 x1，便可以带进去推算。那么，式子中的"r"又是什么?你可以将它理解为“成长率”，但要注意的是，它的值一般是界定在 0 与 4 之间。

如果单纯只看 xn+1 = r xn，假设 r=2，今年有 60 只斑马、明年有 120 斑马、后年便会是 240 只，这样只会无止尽地指数增长下去;因此，当我们设定了"（1 -  xn）"这个约束条件后，便可以解决这个问题——假如今年的 xn = 1，意味着该地斑马数量已然达到环境可负荷的最大值，便会因为饥荒等因素灭绝，隔年得到的数量便将为零。这个看似简单、却又多少能给生态学家建构模型的公式，称为“单峰映射”（logistic map），也是今天文章的主角。

这个式子不仅可套用在生态系，也可以套用在人口学：举个例子，某城市今年有 60 万人，该城市所能负载的最大人口为 100 万人，而每年的成长率大概是 r = 1.5，那么，套进公式会发现：明年的人口将为 36 万、第三年人口将为 34.6 万……，从而渐渐达到平衡点。如果一开始我们假定有 30 万人，明年将会成长为 31 万、后年成长为 32 万，然后趋近于和前者相近的平衡点。最后，如果这个城市一开始就有 90 万人，第二年便会因为环境负载力而锐减至 13.5 万人，但后年、大后年之后将会随着成长率升高而回升至约莫 33 万人的平衡点。

而这些资讯并非凭空构思的，因为它们本身就含括在单峰映射的公式里，用图表呈现便一目了然，你会发现无论前几年如何变化、最终都会回归一个平衡点：

给定该地区成长率为 r = 1.5，假设一开始族群总数为 30 万（左）、60 万（中）、90 万（右）人，无论哪一例子，后几年所呈现的数量将会趋于一个稳定值、约在x = 0.33（33 万人）左右。

而这个稳定值是取决于"r"的，也就是说，只要 r = 1.5，无论人口数目如何变化，最终的平衡点都不会有所差异。

规律的瓦解、未知的开端

因此，我们何不来看看"r"会如何变化?这时，我们回到原本的假设：一个城市里有 60 万人口，如果改动不同的 r，演化曲线将会如何改变?

这里呈示了 r=0 到 2.8 之间的图表，可以看出在 r 超过 2.5 时，振荡发生，即使如此、依旧回归平衡值。

当我们将 r 值逐步增加，一切看似并无异常;当 r=2.8 时，我们发现图形出现了周期性的振荡，但最后依旧回归平稳。顺带一提，我们可以藉由“分枝图”（bifurcation diagram） 来观察 x 的稳定值与 r 的关系，在 r=0 至 2.8 之间，x 稳定值有攀升趋势;在 r=1.5 时，根据前述的例子，x 的稳定值落在 0.33 左右，从下图也可以直接看出：

呈现 x 稳定值与 r 之间的分枝图，r=0 与 r=2.8 之间，稳定值有攀升趋势;在前述例子中，r=1.5 对应到的稳态相当于 x=0.33 上下。

我们继续调大 r 值。正当一切看似正常发展时，诡异的事情发生了：

当 r 大于 3 时，周期性的振荡发生，且不再回归平稳值。由左至右分别是 r=3.1、r=3.45、与 r=3.55 的图表。

在此之前，一切族群的数量都是平稳的，但在 r 超过 3 左右，持续的振荡出现了，且自此“平衡点”不复存在;不仅如此，当 r 值不断调升，显示出来的图像从原本 2 个值、4 个值、到更多值之间来回振荡。值得一提的是，这种“周期性振荡”的现象在生态圈与人口变化中是确实存在的，很有可能前一年数量减少、今年数量增加、明年数量又再减少。让我们来看看对应的分枝图：

图为 r=2.8 至 3.55 之间的分枝图，可以发现数目振荡导致的“分岔”。

这对应于原本从 2 个值之间的摆荡、分岔成 4 个值之间的摆荡、再分岔成 8 个值之间的摆荡……如此往复。此外，如果你留意横轴 r 之间的间隔，会发现：当 r 愈大时，分岔的速度也愈快!

现在让我们继续将 r 值调升，来看看会发生什么事：

随着 r 不断提升，系统呈现随机的迹象，在 r 超过 4 时系统发散。上图分别演示了 r=3.56、r=3.58、r=3.65、r=3.8、r=4 与 r=4.01 的情景。

话不多说，我们直接来看看分枝图：

在 r=3.55 至 r=4 之间的分枝图，分岔不断衍生、并进入随机的模式。

令人毛骨悚然的结果出现了!前面我们观察到，当r提升时，系统会出现周期性的振荡，对应于分枝图中的“分岔”，且分岔的速率会不断增快、再增快;而在 r 超过 3.5699 时，规律的振荡、分岔将不复存在，取而代之的是一团无法预测的随机——这就是所谓的“混沌”（chaos）。

混沌、股票市场、以及蝴蝶效应

现在让我们看一下完整的分枝图长什么样子：

单峰映射的分枝图，从 r=1 至 r=4，可以看出系统在 r 超过一定值后进入混沌状态。

换而言之，当系统的变量到一定程度时，将会变成随机且无法预测的。以人口为例，一开始我们假设的情况很简单，就是 60 万人口与 r=1.5 的成长率;接着我们发现，无论人口基数如何，只要 r 维持原状，数年、乃至于数十年后的平衡点都是相近的。然而，当r值提升后，平衡点的值便会浮动了，r=3 之后周期性的振荡便出现了、且分岔点不断加速倍增;紧接着，我们赫然发现：

当 r 值大于 3.5699 时，系统将全然处于混沌状态。

也就是说，即便给定初始条件，最后的人口演化将会是无法预测的。事实上，这种“混沌”、“随机”的现象并不仅仅局限于自然界的族群或者人口数量，它其实是随处可见的。比如：家中水龙头关不太紧时，水滴很自然地会落下，按理来说，松紧程度与水压毫无变化的情况下，滴水的规律应该也是不变的;但如果你花一段时间观察，会发现水滴可能一下子连续落下两滴、一下子又只落下一滴——我们根本无法预测每一次的滴落模式。

另一个例子就是金融市场：当我们投资了固定金额的股票后，市场的波动将导致金额的浮动，就算有再好的分析师与预测模型，我们也不可能精准预测明天的投资金额会变多少。顺带一提，在金融学中描述期权的模型是“布莱克-休斯模型”（Black-Scholes model），它便是从微观粒子的“布朗运动”（Brownian motion） 所推导而来，其中粒子碰撞随时间演化的随机过程被称为“维纳过程”（Wiener process）。布莱克-休斯模型的假设之一，便是将随时间演化的“股票价格”描述成维纳过程，从而预测、消弭潜在的风险。事实上，休斯本身大学时就是主修物理学的。

而提到“混沌现象”，最经典的例子当然还是气象学家爱德华.洛伦兹（Edward Lorenz）的那句名言：

“一只海鸥拍动翅膀，将导致永久性的气候变化。”

“One flap of a sea gull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.”

尔后，这个现象被称为“蝴蝶效应”（Butterfly effect），也就是说，纵然系统初始条件只有微不足道的变化，也会导致最后产生的结果大相径庭;即使是一只在巴西的蝴蝶拍动翅翼，周边的气流变化会连带影响、扩散至大气系统，甚至能致使一个月后的德州发生龙捲风。

这些非线性、随机的现象在自然界无处不在，许多科学家也尝试研究，缔造了“混沌理论”（chaos theory） 的研究热潮。一旦我们能从中梳理出一些规律，那么，也许便能更精确地掌握“混沌”之中的资讯，这将有助于我们更精确地预测投资股票的风险、也有助于人们更准确地预测天气的变化。

混沌背后的神秘常数

从描述族群、人口的简单函数推演到“混沌状态”的存在已经够令人惊艳了，然而，不知你是否曾留意过分枝图中、每一段分岔点之间的间隔?

如果你把我们最后得到的分岔图放大来看，会发现在混沌状态之前、分岔点出现的速率不断增快;而如果你对每一个分岔点之间的间隔取比值，你会发现——每一次得到的值都会是同一个数字，这个数字大致为 4.669，它被称为“费根鲍姆常数”（Feigenbaum constants）。

对于分枝图上的每个分岔间隔取比例，最终发现比例皆为同一个值：4.669。图源：https://blogs.sw.siemens.com/simulating-the-real-world/2021/01/04/chaotic-fluid-dynamics-part-4-finding-feigenbaum/

更令人细思极恐的是，这个“常数”并非只存在于单峰映射，所有混沌理论中有这种分岔性质的图像，它们之间的比例都是这个常数!而目前数学界尚未能明确理解这个常数的性质，唯一可以推测的是：

费根鲍姆常数（4.669…）与混沌理论有密不可分的联系;该常数的出现意味着混沌现象即将发生。

在前述单峰映射的例子中，费根鲍姆常数主宰了 r=3.5699 之前的分岔规律;在 r 超过 3.5699 后，系统便彻底进入混沌状态了。

除此之外，你或许也发现了，每个分岔的形状都超乎寻常地相似，后一个分岔根本上就是前一个分岔的缩小版。这种特征令人联想到数学上的“碎形”（fractal），也就是某些形状放大后会是自己的本体、从而无穷延伸下去。最著名的例子就是复数平面上二次多项式迭代出来的“曼德博集合”（Mandelbrot set）。信不信由你——当我们将单峰映射的分枝图与曼德博集合比照来看，会发现分岔点之间是有所对应关系的;也就是说，单峰映射可以视为曼德博集合的一部分!

单峰映射其实是曼德博集合的一部分。图源：https://www.sci-pi.org.uk/mandel/mandel_vs_log.html

从简单的单峰映射公式，我们推导出了自然界族群、人口的演化模式，进一步发现了“混沌”状态的存在;而在看似极其复杂的混沌状态中，似乎又发现了隐藏在随机背后的神秘规律。

混沌理论在生活中是无所不在的，时至今日，仍有不少未知的特性等着人们发掘与验证。从生物的竞争、人口的演化、股市的浮动、乱流的成因、到气候的变迁……这些日常事物都被混沌现象主宰着，从而使我们无法精准预测到未来的走向。然而，费根鲍姆常数的发现与几何碎形的联系却也指出了随机背后潜藏着某些规律，这也不禁令人赞叹自然界的美丽与神秘。