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勾除昨日与明朝

一箪疏食一壶浆
一卷诗书树下凉
卿为阿侬歌瀚海
茫茫瀚海即天堂
──《鲁拜集》第12首‧黄克孙译

黄译《鲁拜集》
在世人心目中，最有名的伊斯兰文学作品当然是《天方夜谭》，其次大概就是由101首波斯四行诗组成的《鲁拜集》。这本诗集之所以成为世界名著，主要是因为在十九世纪就出现了英译本，译者是英国诗人费兹哲罗（Edward FitzGerald）。而在中文世界，《鲁拜集》虽然名气较小，仍有许多各具特色的译本，包括华裔物理学家黄克孙的七言绝句版。
黄氏的译本特别注明是“衍译”，也就是强调不力求忠于原著。事实上，费兹哲罗的英译也常有自由发挥之处，黄老师只是延续这个传统罢了。正因为如此，下面这首诗虽然颇具朦胧美感，恐怕无法从字里行间看出背后的典故。
曾司北斗与招摇
玉历天衡略整调
纸上淋漓纵醉笔
勾除昨日与明朝
──《鲁拜集》第57首‧黄克孙译
让我们看看另一个非常忠于英译的版本（郭沫若1924）是怎么写的。
啊，人们说我的推算高明（Ah， but my Computations， People say，）
我曾经把旧历的岁时改正（Reduc'd the Year to better reckoning？--Nay，）
谁知道那只是从历书之中（'Twas only striking from the Calendar）
消去未生的明日和已死的昨晨（Unborn To-morrow， and dead Yesterday.）
根据这个中译，我们就可以讲故事了。
●诗人科学家
《鲁拜集》的作者开俨（Omar Khayyam， 1048-1131）是波斯籍学者，生于伊朗东北部的大城内沙布尔──在他那个时代，那里属于新兴的“塞尔柱帝国”势力范围。当时在文化上仍是伊斯兰世界的黄金时代，但在政治上早已不是阿拉伯帝国的天下。塞尔柱帝国成了新兴强权，阿拉伯帝国的“哈里发”沦为类似周天子的角色。
因此对于开俨而言，塞尔柱帝国的“苏丹”就是他的国君。可想而知，当苏丹邀请他参加历法修订计划，开俨自然唯命是从，而且很可能觉得十分光荣。时间是公元1073年，开俨当时二十五岁。
修订历法是兹事体大的科学计划，绝对不会邀请诗人来凑热闹。这就充分说明一件事：开俨在很年轻的时候已经是知名的科学家。事实上，早在1070年，年方二十二岁的他就写了一本数学书《代数问题演示》。
这本书的主题之一是一元三次方程式的解法。如果你还记得古希腊的梅氏如何解决“加倍立方体体积”这个难题（等同于解x3=2），就很容易了解开俨使用的方法。因为梅氏是用两个抛物线的交点得出欲求的解，开俨则是将其中一个抛物线改成正圆。（如果需要复习梅氏的方法，请参考〈无用之用〉这篇文章。）

换言之，开俨同样是使用作图法，求得一元三次方程式的（其中一个）解。这个方法有两个缺点，一是无法推广到复数解，二是无法写出精确的公式，两者原因都很明显。至于真正完美的解法，则要一直等到十六世纪才出现于意大利半岛。
无独有偶，非欧几何也可算是开俨的另一个未竟之志。1077年，他又写了一本书《论欧几里得公理的困境》，试图用另一组公理取代欧氏（前五个）公理，并仔细探讨了三种可能的结果──用现代语言来说，就是欧氏几何以及两种非欧几何──可惜他采取的策略是“证明”只有欧氏几何正确。
●精确的历法
开俨在历法修订上投入了六年的时间，公元1079年，他们的团队终于完成了所谓的哲拉里历（Jalali calendar， 因为当时的苏丹名叫Jalal.........）。
如果你上网查查，很容易发现如下的论述：哲拉里历非常精确，甚至超越了几百年后才出现于西方世界（而且目前仍通用）的格里历。这到底是不是真的？让我们抽丝剥茧一番吧。
格里历（新历）出现于十六世纪的欧洲，用以取代不太准确的儒略历（旧历），但是过渡期相当长，有将近两百年的时间，导致十六至十八世纪的欧洲历史令人相当头痛。例如牛顿到底生于哪一年，又是卒于哪一年，儒略历和格里历都会给你不同的答案（儒略历1642-1726；格里历1643-1727）。
大家应该都学过格里历的规则，简单地说就是：四年一闰，逢百例外，逢四百又例外。例如公元2000年是例外的平方，所以是闰年而非平年。而根据这个规则，我们就能计算格里历的一年平均有多少天。
365+1/4-1/100+1/400=365+97/400=365.24250000...日
（过度简化的儒略历则是365+1/4=365.250000...日）
格里历究竟有多么精确呢？要回答这个问题，当然需要跟真实世界做个比较。比方说，根据目前最新的天文观测数据，公元2000年共有365.242189日（此即所谓的平均太阳年），它比上述的365.2425日稍微短了一点。
不过请注意，光是根据这个数据，其实不能骤下断语。因为地球公转的周期并不固定，而是不断在减小（这是由于地球和太阳的距离逐年缩短，不过因为很慢，不值得我们担心）。举例而言，天文学家曾推算出公元“零年”这一年共有365.242310日（果然稍长于365.242189日）。
有了这两个一头一尾的数据，我们才能肯定地说，格里历的一年（365.2425日）比公元元年至2000年中任何一年的正确数值都稍微长了点。
现在再让我们看看哲拉里历，它的规则很简单，只有“33年8闰”一条而已，因此一年平均有365+8/33=365.242424...日。由此可知，我们的确可以说哲拉里历比格里历精确一点点。
然而真正重要的是，哲拉里历比之前的波斯历法都精确不少，所以开俨才会洋洋得意地写诗自夸。不过请注意，后面那两句纯属文学笔法，大家千万不能当真。
●诗人的精神面貌
想要一窥开俨的心灵世界，他的丰富诗作当然是最佳管道。所以让我们再欣赏两首，由于个人偏好，我引用的都是黄译（黄老师请见谅，我把您的标点省略了）。
[56]
是非原在有无中（For "Is" and "Is-not" though with Rule and Line）
竭想穷思总是空（And "Up-and-down" by Logic I define，）
借问一心何所好（Of all that one should care to fathom， I）
满杯春酒漾娇红（Was never deep in anything but--Wine.）
[66]
欲寻身后路茫茫（I sent my Soul through the Invisible，）
自遣离魂到大荒（Some letter of that After-life to spell:）
魂魄归来唯一语（And by and by my Soul return'd to me，）
我兼地狱与天堂（And answer'd "I Myself am Heav'n and Hell."）
实在很想再抄几首跟大家分享，但再抄下去恐怕有违“合理引用”的原则，所以就此打住吧。

伊朗政府于2009年捐赠“联合国维也纳办事处”的雕像：（左）比鲁尼（973-1048）；（右）开俨（1048-1131）
（图像来源：维基百科）
注一：不知道大家有没有注意到，开俨刚好生于比鲁尼辞世那一年。在数学史上，这可说是个无缝接轨的佳话。更重要的是，两位大师都是波斯裔，因此当伊朗政府想要宣扬波斯民族在科学发展上的贡献，他们两人双双入选。
注二：方程式的图解法并没有唯一性，例如开俨在研究一元三次方程式的过程中，至少用过两种图解法：[I]抛物线和圆的交点（以x3+2x-2=0为例）；[II]双曲线和圆的交点（以x3+2x2-2=0为例），它们分别能转换成如下的二元二次联立方程式：

（其中[II]的几何意义为：一个直角三角形，其斜边长度等于斜边高加上直角边之一，求解这个三角形的边长比。）
如果你试着消去y， 第一组联立方程式会转换成x（x3+2x-2）=0， 第二组则会变成x（x3+2x2-2）=0， 因此两者的图解各有两个交点。扣除x=0这个“人工解”之后，另一个交点的x座标就是答案。
在这两个例子中，另外两个解都是共轭复数，当然无法以交点的形式呈现在平面座标上。
注三：如今网络文献中充斥着哲拉里历是“2820年683闰”这个说法，其实这是二十世纪中叶才出现的推论，并没有扎实的证据，绝对不能视为正统史料。
偏偏这个有如沙上城堡的“2820年周期”不胫而走，导致一则以讹传讹的迷思，认为开俨是先用“精密仪器”测出一年的日数是365.24219858156日，然后再根据这个结果，订出“2820年683闰”的规则。这是标准的倒因为果，大家不妨算算683/2820等于多少。
再强调一次，在开俨那个年代，除非有外星人协助，人类绝对不可能把“平均太阳年”测到小数点后十一位数（事实上，目前仍旧如此）。