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有没有故事

想必大家都知道，世上第一部成文宪法是制定于1787年的美国宪法。

任何一部宪法都不可能完美无缺，美国宪法当然也不例外。但是美国人在修宪时，绝对不会更动宪法本文，而是一律以“修正案”的方式附在后面。换句话说，直到今天为止，美国宪法的本文仍旧维持230年前的样貌。

两百多年下来，这类修正案总共累积了27条（而已）。最有名的是前十条，统称为“权利法案”，它几乎和宪法本文同时生效。

其余的修正案有好几条和选举权有关。例如第15条让所有的美国男性都享有选举权，时间是南北战争结束后不久，两者的关联十分明显。至于美国女性，直到1920年才终于争取到这项权利（宪法修正案第19条），这在今天看来实在难以想象。而将投票年龄从21岁降为18岁，则是相当晚近的事（1971年第26条修正案生效之后）。

至于美国总统只能连任一次，原本一直只是惯例（因为华盛顿做完两任便告老还乡），所以小罗斯福的特例（做了十三年后死于任上）在当时并不算违宪。罗斯福总统逝世六年后，第22条修正案才明文规定以两任为限。

在这些修正案中，最有趣的莫过于18与21这两条，前者（1919年）就是俗称的禁酒令，后者（1933年）则宣布将它废除。由此可知，在美国宪法史上，没有任何事务能够一笔勾销；无论多么睿智或愚昧的立法，都会在历史上留下永久的记录。

总而言之，这是一部充满故事的宪法。正因为有故事，在研读这样的宪法时，不会令人感到枯燥无味。

那么其他国家呢？比方说，当今的法国已经进入第五共和，前面四个共和是怎么来的，又是怎么结束的，背后应该有不少故事吧。可惜的是，那些故事并未写进第五共和宪法中，如果你感到好奇，必须自己设法在别处寻找。

同理，介绍科学知识的方式大致也有两种，不妨称之为“美国（宪法）式”和“法国（宪法）式”。“美国式”的优点是引人入胜，缺点则是难免有点啰嗦，读者如果只想了解科学知识，必须从故事中沙里淘金。反之，“法国式”的优缺点则刚好相反。

这么说难免流于空泛，不如秉持科学精神，好好做一次实验。

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在上百种原子中，氢原子是最简单的一种，它的原子核就是一个带正电的质子，而原子核外面只有一个电子。

根据古典物理学，这个电子绕着原子核作圆周运动，有点像是月球环绕地球公转。不同的是，月球和地球的距离几乎固定不变，电子和氢原子核则是可近可远──两者距离越远，电子的总能量（动能+位能）也就越大。

科学家很早就知道，在原子那么小的尺度下，古典物理经常会失灵。因此想要正确描述氢原子，必须用量子物理取而代之。一旦改用量子物理，电子的总能量就会被“量子化”，换言之变成离散值，不过“距离原子核越远总能量越大”的趋势仍然保留了下来。

我们不难为这样的系统找到实际的类比，例如圆形剧场就很合适（请注意这只是比喻，不太可能完美对应）。如果把中央舞台当作氢原子核，电子就是剧场中唯一的观众。既然观众席上没有第二个人，他可以随意坐在任何一个位子上。

位于法国南部的奥朗日古罗马剧场遗址

如果选择靠近舞台的位子，他的位能自然比较低，反之坐得越高，位能就越大。由于两阶之间没有任何座位，阶梯的编号刚好可以描述位能的大小，而这些位能当然是不连续的。

至于在氢原子中，电子的总能量是以“量子数”来编号（n=1，2，3...），它和圆形剧场的阶梯在概念上非常类似，因此通常称为氢原子的“能阶”。

前面说过，既然整个剧场只有一名观众，他可以随意选择自己的座位。同理，氢原子中的那个电子可以待在任何一个能阶。能阶越高，量子数就越大，电子距离原子核也就越远。

由于每个能阶的能量都不一样，电子若想换到另一个能阶，一定会伴随能量的转移。如果是降级，电子会放出若干能量；如果是升级，当然需要先获得能量。对于原子中的电子而言，它只能释放或吸收电磁波的能量，其他的能量都敬谢不敏。不过既然这是量子物理，你不妨在心中将上述的“电磁波”代换成“光子”。

氢原子的电子从第三阶降至第二阶示意图

讲到这里，终于可以和实验扯上关系了。

氢原子是标准的微观系统，但如果有许多氢原子（例如一莫耳）同时吸收或释放电磁波，便会产生很明显的巨观效应。研究这种巨观效应的学问，通称为“光谱学”。

一提到光谱学，或许你就会联想到“吸收光谱”和“发射光谱”。请注意，在此的“吸收”和“发射”都是指上述的电磁波，因此吸收光谱就是电子升级的证据，反之发射光谱则对应于电子降级。

在光谱学中，氢原子的发射光谱可细分为几个系列，各系列都包含无数条离散的“亮线”，却没有任何连续的“亮带”。因此我们可以说，这个光谱就是氢原子具有离散能阶的定性证据。

依照惯例，这些系列都以人名来命名，例如来曼系列（Lyman series）对应于电子从某个较高的能阶降级到最低阶（n=1）；巴耳末系列（Balmer series）对应于降到第二阶。此外还有帕申系列、布拉格系列、蒲芬德系列以及韩福瑞系列，分别对应于电子从高能阶降到第三、四、五、六阶。

来曼系列的谱线全部是紫外线，巴耳末系列的谱线包括可见光和紫外线两者，其他系列的谱线则一律是红外线。

其中巴耳末系列最有趣，它的前四条谱线落在可见光的范围，其余各条由于波长小于400纳米，根据定义都是紫外线。可是，可见光和紫外线的分界其实没有那么明确，一般人仍可用肉眼看见本系列的第五与第六条（波长分别为397.0以及388.9纳米）。

巴耳末系列前六条谱线，左侧勉强可见的两条理论上属于紫外线

不过，千万别以为光谱只能提供定性的证据。事实上，光谱实验的数据通常都很精确，足以作为氢原子能阶的定量证据。下面做个简单的示范：

氢原子能阶的公式是：En=-2.180*10-18/n2焦耳

如果电子降级，量子数从n降到m，释出的能量是△E=2.180*10-18（1/m2-1/n2）焦耳

这个能量如果转化成一个光子，那么根据爱因斯坦的理论（光子能量=普朗克常数*频率），我们就能轻易算出对应的电磁波其频率和波长。用巴耳末系列的第五条谱线为例，它对应于电子从第七个能阶降级到第二阶：

△E=2.180*10-18（1/22-1/72）=5.005*10-19焦耳

频率=△E/h=5.005*10-19/6.626*10-34=7.553*1014/秒 （其中h是普朗克常数）

波长=光速/频率=299792458*109/7.553*1014=396.9纳米≒397.0纳米

我们之所以相信氢原子能阶确实存在，正是因为有这些精确的光谱数据作后盾！

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如果你觉得上文简洁有力，或许意味着“法国式科普”很适合你。但如果你觉得少了些什么，没关系，我们的实验尚未结束。

附录：芮得柏公式（Rydberg formula）

本文范例中的三个计算步骤，其实大可合并为一个式子：

波长=光速/频率=光速*h/△E=91.13/（1/22-1/72）纳米

这个式子当然可以推广成“电子从第n阶降到第m阶”的一般情形：

波长=91.13/（1/m2-1/n2）纳米

这就是所谓的芮得柏公式，不过更常见的版本是：

1/波长=R（1/m2-1/n2）

其中R=0.01097（单位为纳米的倒数）=1.097*107（单位为米的倒数）

由于纳米科技是当今的显学，现在大家谈到可见光的波长，通常会说大约是400至700纳米。但是在几十年前，科学家还习惯用“4000至7000埃”来界定可见光。换言之，埃是十分之一纳米，也就是一米的百亿分之一。

这个单位是为了纪念瑞典光谱学家埃格斯特朗（Anders Ångström， 1814-1874），他在1868年出版《太阳光谱研究》一书，详细记录了一千余条“太阳吸收光谱”谱线的波长。为了书写方便，他以10-10米作为波长的单位。因此我们可以说，埃氏是最先使用埃（Å）这个单位的科学家。

不过，埃氏绝非第一个研究太阳光谱的人。早在他出生的那一年，德国物理学家夫朗和斐（Joseph von Fraunhofer， 1787-1826）就发明了所谓的光谱仪（spectroscope， 亦称分光镜）。借着这个仪器，他发现太阳光谱中藏有许多前所未知的细微结构。

至于光谱学是不是夫朗和斐开创的，答案则是见仁见智。如果真要追本溯源，或许牛顿才是这门学问的开山祖师。因为“光谱”其实就是依照波长大小排成一列的各种光线，根据这个定义，牛顿用三棱镜得到的“彩虹”无疑是史上第一个人造光谱。

从牛顿到夫朗和斐，时间相隔一个半世纪，实验的精确度自然提升不少。例如在牛顿看来，太阳光谱就是一道连续的彩虹，夫朗和斐则利用光谱仪，在其中找到574条黑线。它的成因大致可以这么想，从太阳内部发出的可见光，在经过太阳表面时，被氢原子吸收了一些特殊的频率；这些频率的光并未射到地球上，光谱中当然就呈现出一条条黑色的裂缝。

反之，如果在实验室里设法让氢原子自己发射电磁波，便能得到许多明亮的线条，刚好和“吸收光谱”的黑线互补，这就是所谓的“发射光谱”。事实上早在1860年左右，埃氏便研究过氢原子的发射光谱，发现其中有四条亮线（分别和某条“夫朗和斐线”互补），并且精确测量出它们的波长。

不过，那四条亮线并未冠上埃氏的名字，原因当然是后来被人掠美了。

掠美者名叫巴耳末（Johann Balmer， 1825-1898），是一位瑞士籍的高中数学老师。他原本和光谱学毫无渊源，五十几岁时突然对这门学问产生兴趣，于是发挥他的数学专长，为上述四条属于可见光的谱线“凑出”一个非常精确的公式：

波长=3645.6m2/（m2-4）埃，其中m=3， 4， 5， 6.

终其一生，巴耳末在科学上就只有这个代表作，其重要性却足以让他名垂青史。它发表于1885年，当时巴耳末刚好六十岁，堪称科学史上大器晚成的世界纪录。

夫朗和斐（左）、埃格斯特朗（中）、巴耳末

由于这个公式实在太精确，有识之士都看得出来，它背后应该有扎实的理论根据。不过在当时，这个问题难倒了全世界所有的科学家。

然而他们更想不到的是，在巴耳末公式问世的同一年，解决这个难题的人也悄悄诞生了，他就是鼎鼎大名的波耳（Niels Bohr， 1885-1962）。二十八年后，波耳提出量子化的原子模型，为巴耳末公式找到了正确的物理意义。

不过，在讲述这段故事之前，需要先对原子论做个简单的回顾。

原子的概念早在古希腊时代就出现了，原意是“不可分割之物”。直到十九世纪初，这个哲学理论仍对科学界有着深远影响，因此，当道耳顿（John Dalton， 1766-1844）提出他的（化学版）原子模型，自然而然继承了这个不可分割的概念。

至于物理版的原子模型，要等到二十世纪初才陆续问世，分别是“汤姆森模型”、“长冈模型”、“拉塞福模型”以及“波耳模型”。

依照先后顺序，我们从汤姆森模型谈起。

就科学史而言，汤姆森（J. J. Thomson， 1856-1940）一生最重要的贡献并非原子模型，而是解决了“阴极射线之谜”；他断定这种射线是由一种带负电的微粒组成，也就是我们现在所说的电子。正是这个发现，促使他在1903年底提出第一个有实验证据的原子模型。

既然电子能够独立存在，意味着原子并非不可分割，而电子只是原子的一部分。除此之外还有哪些部分呢？汤姆森使用最简单的假设，认为原子仅仅只有两部分：带正电的球体（有如一个面团）以及平均分布其中的一颗颗电子（有如葡萄干）。这正是“耶诞布丁模型”这个戏称的由来，不过“西瓜模型”或许是更贴切、更传神的别名。

几乎在同一时间，日本物理学家长冈半太郎（1865-1950）提出所谓的“土星模型”，用土星比喻原子中带正电的部分，土星环则对应各个电子。它显然已经具有原子核的雏型，这在当时是非常先进的观点。

可惜这个模型有个致命伤，无法解释“土星环”为何不会因为同性相斥而四散纷飞，因此后来被长冈本人宣布作废。即便如此，土星模型仍有承先启后的地位，后来的“拉塞福模型”或多或少受到了它的启发。

但必须强调的是，拉塞福模型还有一项更重要的根据，那就是由拉塞福（Ernest Rutherford， 1871-1937）本人主导的金箔散射实验，时间是1909~10年，当时任教于曼彻斯特大学的他刚拿到诺贝尔“化学奖”。

简单地说，这个实验是利用α射线撞击金箔，然后观察偏折的角度。由于α射线就是氦原子核，质量比电子大好几千倍，因此在撞击过程中，这种射线几乎感觉不到电子的存在。另一方面，如果西瓜模型正确无误，由于“瓜肉”过于稀疏，对α射线的影响同样微乎其微，因此理论上α射线会笔直穿过这些金原子。

实验结果却大大出乎拉塞福意料之外。虽然绝大部分的α射线确实如入无人之境，但有极少数具有很大的偏折，甚至是一百八十度折返。拉塞福曾经打个比方，就好像用大砲轰击卫生纸，居然发现砲弹偶尔会反弹回来！

这个结果显示西瓜模型大有问题，原子绝不是均匀分布的瓜肉与瓜子，中央显然有个体积极小、密度极高的核心。

于是拉塞福在1911年提出了改良版的原子模型，也就是后人所谓的“太阳系模型”。由于“行星”彼此距离很远，因而避免了土星模型中电子互相排斥的矛盾。

西瓜模型（左）与太阳系模型示意图

问题是，太阳系模型本身也有大漏洞：如果电子真的绕着原子核公转，一定无法维持固定的高度，换言之会迅速坠落。因为根据电磁学，转圈圈的电子会不断发射电磁波，这将导致电子的总能量越来越小，因而电子和原子核的距离一定不断拉近。

拉塞福自己当然知道这个缺陷，只是苦无解决之道。就在这个时候，来自丹麦的波耳适时投入他门下，时间是1912年三月。

波耳追随拉塞福的日子不算长，只有短短几个月而已，两人却培养出深厚的师生情谊。为了协助恩师解决这个难题，波耳大胆假设普朗克的（离散能量）理论或许也适用于原子轨道。拉塞福原本并不看好这个想法，理由是欠缺实验证据，但当然不反对波耳试试看。

一年后，回到母国的波耳才正式完成三篇论文〈论原子与分子的构造I， II， III〉，是为史上首度引进量子概念的原子理论。这组论文最成功的部分，就是后来以他命名的“波耳（氢原子）模型”。

直到这个时候，“巴耳末公式”与“芮得柏公式”的物理意义才终于大白于天下，敢情这两组一八八零年代问世的公式正是量子物理的重要证据。

话又说回来，波耳模型虽然成功，却有一个“知其然而不知其所以然”的假设，算是美中不足之处。至于这个问题后来如何解决，当然是另一个故事了。