“轨迹体”重复滚出任何的特定曲线

要一颗黏土球顺着缓坡直线滚下，轻而易举!若是画一条斜线，令球换个方向前进，就稍微困难一点。为了怕走偏，我们使出力气，压着它滚动，于是把黏土球推成柱状。现在它有左、右两头和一个曲面。接下来滚动的时候，它总是曲面接触地面，直直向前。不过，如果先前施力不均，黏土球变成一边大一边小，得到的形状就可能类似圆锥体，或是接近纸杯般圆锥台体的模样。这个时候滚出来的路线，会是曲线，而非直线。[1]如果想要滚得更华丽，形状又该长怎样呢?

形状与轨迹

假设刚才这样滚来滚去，各位读者没晕的话，还可以看看过去科学家设计出来的，各种奇形怪状的固体，例如：oloid、sphericon、platonicon 和 two-circle roller 等。它们虽然形状迥异，但是都能滚出特定重复的轨迹。[2]比方说，oloid是两个呈直角，分别插入一半，结合在一起的等大圆盘，外面包覆平滑的曲面（如图）。其中一个圆盘的边缘，会通过另一个的圆心。[3, 4]数学家 Paul Schatz 于 1929 年首次描述 oloid 的特质：曲面的形状会在它滚动时，顺势呈现出来;而质量中心的高度，虽然有所起伏，但是变化不大，所以滚起来还算平顺。[3]换句话说，在滚动的过程中，oloid 宛如绕着轴心旋转，其曲面的每个地方，几乎都会接触地面，于是画出来的轨迹，就是表面展开的模样。[3, 5]听起来很酷吧?有没有超想做一个来当玩具?（模板）（教学）不过，任职于韩国基础科学研究院（Institute for Basic Science）的 Yaroslav Sobolev 等科学家，觉得这样还不够看。[2]

Oloid 结构示意图。图/Dr. S. Wetzel on Wikimedia Commons（CC BY-SA 3.0）

Oloid 的外型、结构和表面展开图。图/参考资料 4，Figure 1, 2, and 3（CC BY 3.0）

轨迹体

以前那些能滚出漂亮波浪的造型，其实已经很厉害了。然而研究团队怀抱更宏大的野心，决定提高挑战性：他们想开发一个程式，来演算各种形状的固体。让这些固体在从斜坡滚下去的时候，理论上可以依循任何特定的轨迹，而且无限重复。以此程式设计，再 3D 列印出来的新东西，被称为“轨迹体”（trajectoid）。最后在中心塞入 1 颗钢珠，加重较容易滚动，然后实测它们的路径是否顺畅。[2]

研究团队在模拟的平面上，画了一条歪七扭八，毫无规则可言的短线。将此短线复制贴上几次，连成一条非常难看，还永无止尽继续丑下去的长线。再把平面的一边稍微提高，制造出坡度，方便之后在上面滚东西。这就是最终要滚的目标丑线，但是万丈高楼平地起：先从简单的圆柱体于水平面上滚直线开始，之后才调整形状、方向和坡度等变因。[2]圆柱体质量中心相对于平面的高度，是它始终如一的半径，所以能稳定前行;[1, 2]而轨迹体的质量中心，是比3D列印材质沉重许多的钢珠，因而不太受外型设计影响。[2]

在塑形的时候，要注意诸多条件，比方说：轨迹体每次滚完短线，得毫无偏颇地回归原始方向，准备再滚下一段完全相同的短线。想象轨迹体与平面接触的地方，若会压出纹路，那么滚完第一段短线后，这条纹路的头尾必要相接，才能滚得出下一段同样的短线。此时，纹路在轨迹体上，区隔出来的两边表面积必须相等，各占 1/2。要是纹路的长度，不够绕轨迹体一周，就重复延长一倍，好令头尾互碰。在这个情况下，需要特别控制的表面积只有 1/4，使设计更为容易。另外，轨迹体的尺寸，绝对不能做得太大。不然会像大卡车难走九弯十八拐，三两下就前进某个距离，却画不出其中细微的蜿蜒。[1]

经过多番尝试之后，研究团队终于成功了，他们在2023年8月的《自然》（Nature）期刊发表了论文。