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原本就是原本

一九三零年代，几位法国数学家展开一项雄心万丈的计划，打算写一套“颠覆数学界传统”的高等数学教科书。
他们使用布巴基(Nicolas Bourbaki)这个共同笔名，经过半个多世纪的努力，写出十一册影响深远的巨著。不过，可别以为布巴基的影响力仅限于高等数学，比方说，中学生都知道“空集合”是什么，而空集合的通用符号(Ø)正是布巴基首倡的。
布巴基有许多令人莞尔的事迹，例如刚开始的时候，成员将这个团体视为秘密结社，坚决否认布巴基是笔名。直到一九五七年，一位美国数学家为文介绍这个团体，学术界才惊觉这位“数学才子”竟然是个虚拟人物。
如今，布巴基的原始成员凋零殆尽，但布巴基这个虚拟人物依然健在，甚至在巴黎高等师范学院拥有一间办公室，继续经营这套统称为《数学原本》(Elements of Mathematics)的不朽巨著(目前已扩充至十二册)。
布巴基的一言一行都富有深意，《数学原本》这个名称当然不例外，明眼人都看得出来，他们是要向欧几里得的《几何原本》(Elements)致敬。或者也可以说，这是他们的自我期许，希望《数学原本》能像《几何原本》那样，在数学界发挥长达千年的影响力。
大家一路读到这里，不知道有没有发现什么问题？如果没有，请回过头再看看那两个书名的英文，然后好好想一想。
(我则趁机打个岔：上面的两个书名，原文分别是法文与希腊文，在此改用英文纯属便宜行事。好在这两个英译书名能和原文一一对应，并不算是全然的二手资料。)
发现问题了吗？是的，《几何原本》这四个字好像和原文书名有些出入，换言之，当年利玛窦和徐光启翻译这本书的时候，在书名的考量上，似乎并未遵循忠于原著的原则。
这背后莫非有什么隐情？答案是肯定的。不过由于问题十分复杂，必须另辟专章讨论，所以在此只能强调，让我们从现在起，改用《原本》来指称这本古希腊的数学经典。
以上只能算开场白，本文真正的目的，是要好好谈谈《原本》这本书。
●谜一般的作者
通常要深入讨论一本书，当然应该从作者谈起，可是很抱歉，《原本》虽然是历史悠久的畅销书兼长销书，作者欧几里得却是谜一般的人物。或许正因为反差太大了，有些数学史研究者曾发奇想，认为“欧几里得”可能是几位希腊学者的共同笔名！这个奇想的灵感来自何处，就不用多说了吧。
(如果能用“奇想”研究历史，那么我也会：几百年后，有人用时光机将布巴基的著作传回古希腊，被一个名不见经传的学者发现，整理出他看得懂的一小部分……)

画家笔下的欧几里得
因此，虽然欧几里得的生平资料少得出奇，为了避免他被虚拟化，在此还是要设法介绍一下。话说公元前四世纪，亚历山大大帝猝逝之后，他的帝国分裂成四大部分，其中位于埃及的托勒密王国就是欧几里得的故乡。欧几里得和这个王国大约同时诞生，一生最重要的成就便是编写《原本》这本书。传说中，托勒密王国的开国君主曾请教他学习几何的捷径，欧几里得的经典回答是：“几何，无君王之路。”
上文特别使用“编写”这两个字，言下之意《原本》的内容大多并非欧几里得原创(颇为类似孔子的“述而不作”)。事实上，欧几里得在数学上真正的贡献，是以十分有系统的方式，将他那个时代的数学整理出一个完美的架构。
再强调一次，《原本》的内容并非仅限于几何学，而是尽可能将当时的数学成就一网打尽，但由于几何在书中比例最重，其他的主题(数论与代数)也都佐以图形，难免让人产生它是几何专论的误解。正是这个缘故，欧几里得赢得了“几何学之父”的美誉──虽然严格说来，应该是“几何学教育之父”才对。
看到这里，想必大家很想知道《原本》到底是用什么方式编写的。这个问题大可倒过来回答，请找一本用现代语言翻译的《原本》，随手翻一翻，你很可能会以为这是现代人编写的数学课本。
原因很简单，欧几里得在《原本》中创立了一个标准架构，从此以后，西方的数学著作(乃至数学论文)一直都是这么写的。甚至有一段时期，连物理学与天文学著作都依样画葫芦。
●两大精神
在这个标准架构中，最重要的两大精神是“抽象化”与“公理化”。
“抽象化”让数学得以从现实世界抽离，成为一种独立于自然界的抽象结构。例如几何学的前身是研究土地丈量的学问(Geometry=Geo+metry=地+量)，但我们在《原本》中已经完全看不到土地的影子(书中没有任何应用题)。又如这本书里的“数”都是抽象的，比方说三就是三，不必对应三只小猫或三只小狗。
“抽象化”最明显的优点在于能将数学的用途推广到极致，例如3+4=7这个结果可以有无穷多的应用，三元加四元等于七元，三只小猫加四只小狗等于七只动物……(事实上，《原本》所讨论的数还更抽象，所以书中只有a+b， 并没有3+4)。另一个优点则是能避免歧异，举例而言，虽然圆形在自然界处处可见，但是真实的圆形各有各的瑕疵，没有两个是一模一样的;唯有数学中的“圆”才完美无瑕，百分之百服从几何学的定义，因而放诸四海皆准。

《原本》九世纪希腊文抄本
至于“公理化”是什么，需要先从公理的意义谈起。
公理可以解释为“不容怀疑或不证自明的道理”，例如“整体大于局部”这个概念就符合人同此心、心同此理，绝对不会有人提出异议。而在《原本》中，欧氏使用十个公理当作整套书的逻辑基石(书中称为五个公设和五个公理，其实没必要如此细分)。换句话说，这本数学巨著中的每一项结果与结论，都能从这十个公理出发，经由逻辑推理而得。
这就是公理化的威力，这也意味着数学势必发展成一门纯粹使用脑力的学问(不必进行实验或观测，更不必做田野调查)。因此之故，在西方的学术传统中，通常不将数学视为自然科学。另一方面，由于任何自然科学多少都会用到数学，使得数学理所当然成了自然科学之母。
追本溯源，《原本》是这一切发展的源头。
附录：公理化的实例
《自然哲学的数学原理》是牛顿的传世之作，全书仅以三个公理当作基石。
公理一、每个物体都倾向于保持静止或等速直线运动的状态，唯有受到外力作用，它的状态才会被迫改变。
公理二、动量的变化总是正比于外力，并沿着外力的直线方向进行。
公理三、每个作用都会引发一个等值的反作用，换言之，两个物体施于彼此的作用总是大小相等、方向相反。
如果你觉得这三个公理似曾相识，那是因为它们的另一个名称是“牛顿(三大)运动定律”。不过，牛顿在撰写这本书的时候，刻意模仿《原本》的结构，因此也将这三大定律称为公理，并放在全书开宗明义的位置(仅次于八个定义)。由此可知，这本物理学的经典之作实质上是一本数学书(所以书名中有“数学”两字)。
《自然哲学的数学原理》之所以那么成功，采用公理化正是最主要的原因。因为无论哪个公理，都是将真实世界的规律加以简化的结果，正因为简化，所以易于研究。
想必有人不禁要问：“牛顿运动定律”居然是简化版？没错，比方说，根据爱因斯坦的狭义相对论，“牛顿第三运动定律”仅适用于接触力(例如摩擦力)，对于超距力(例如磁力)并不完全正确，只能算是一种粗略的描述。
由于数学公理都是真实规律的简化版，利用数学描述真实世界一定会有局限。例如根据“牛顿运动定律”发展出来的力学，只能描述速度不太大的运动。另一个著名的例子则近在眼前，根据“欧几里得公理”发展出来的欧氏几何其实也有局限性，并非所有的空间皆能适用。
至于欧氏几何应该如何修正或推广，当然也要另辟专章才能讨论了。

《自然哲学的数学原理》1729年英译本