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海姑兰之夜

“这是最好的时代，也是最坏的时代。”──狄更斯

“人类之所以有进步，就是因为下一代不听上一代的话。”──倪匡

公元1924年，量子物理发展了将近四分之一世纪，虽然理论与实验都有许多进展，却一直未能解决几个根本的问题。正因为如此，当爱因斯坦读到德布罗意的博士论文，才会觉得看到一线曙光。换句话说，物质波好像一剂强心针，让爱氏对量子物理的未来充满信心。

可是并非人人都那么乐观，例如包立（Wolfgang Pauli， 1900-1958）这位“物理神童”便抱持相当悲观的态度。虽然著名的“包立不相容原理”就是那段时期的发明，他对现况还是乐观不起来。1925年五月，在他写给朋友的信中，出现了这么一句话：“如今物理学又是一片混沌，总之超出我的能力太多。我多么希望自己是个喜剧演员，从来不知道物理是什么。”

包立的悲观其来有自，当时的量子物理看似百花齐放，其实一切都是见招拆招，欠缺统一的作战方案，甚至连方案的影子都没有。

恐怕包立做梦也想不到，就在写这封信的时候，他的同门师弟即将掀起一场量子革命。这位师弟不是别人，正是鼎鼎大名的海森堡（Werner Heisenberg， 1901-1976）。他和包立一样二十出头就获得物理博士，然后两人各奔前程，但仍保持密切联系。

包立（左）与海森堡

海森堡共有三位恩师：指导教授索末菲（Arnold Sommerfeld， 1868-1951）、第一位“老板”玻恩（Max Born， 1882-1970）以及后来和他最投契的波耳。他曾在玻恩的许可下，前往丹麦追随波耳大半年，根据他自己的说法，那是他治学的黄金时期。话说回来，虽然海森堡对波耳崇敬有加，他破解量子之谜的方法却是自己摸索出来的，某些方面甚至还跟波耳唱反调。

海森堡的方法是标准的知易行难，他坚持在研究量子问题时，只能使用客观的实验结果，不得掺杂任何主观的想法。以氢原子为例，它的发射光谱（包括频率和强度）是唯一的客观数据；其他诸如“能阶”、“离散轨道”甚至“驻波”之类的概念，其实都是波耳模型的理论产物，无法用任何实验直接观测，所以必须忍痛放弃。

换句话说，海森堡年纪轻轻就立下宏愿，坚持使用“可观测的物理量”建立一个统一的量子物理体系。

海森堡的三位恩师：索末菲（左）、玻恩（中）、波耳

然而，正应了积劳成疾这句话，1925年六月初，他刚从丹麦回到德国不久，突然罹患严重的花粉热，整张脸肿得像被痛殴一顿。于是他向玻恩请两周病假，离开他们的大本营哥廷根，前往一个以“草木不生”著称的渡假胜地疗养。那就是位于德国北海岸附近的海姑兰岛（Heligoland=Helgoland），它和哥廷根的直线距离大约350公里。

一旦远离花粉，海森堡的健康很快有了显著改善。他当然闲不下来，除了散步和游泳等健身活动，其他时间都在继续研究他的新方法。由于心无旁骛，进展得相当顺利，某天晚上终于有了重大突破。

多年后他回忆道：“前几项似乎都不违背能量守恒，我因此相当兴奋，开始出现许多粗心的错误。到了将近凌晨三点的时候，最后的计算结果终于出炉。每一项都符合能量守恒，于是，对于这个新诞生的量子力学其中的数学一致性，我再也没有任何疑虑……我实在太兴奋了，根本睡不着，等到曙光乍现，我向小岛南端走去，那儿有个伸到海面上的岩石，之前我一直想爬上去。其实并不怎么难爬，我没花什么力气就爬到顶端，开始待在那儿等待日出。”不知大家有没有注意到，最后几句话（之前我一直想爬上去……）是标准的双关语！

事实上，当时海森堡并非直接研究氢原子，而是用比较简单的“不完美简谐振荡”当作试金石，但基本原理并无二致。总之，一门崭新的量子力学就在那天诞生了。后来物理学家刻意称之为“矩阵力学”，一来它以矩阵为基本工具，二来则是因为不久便出现一个跟它分庭抗礼的“波动力学”。

不过，千万别以为海森堡一开始便使用矩阵进行计算。其实直到那时为止，他从未接触过线性代数或矩阵理论（那个时代数学和物理各走各的路，彼此越来越疏远）。因此他的计算过程非常复杂，但就数学本质而言，那正是如今所谓的矩阵代数和矩阵微积分。

其中最耐人寻味的是在量子物理的启发下，海森堡以闭门造车的方式，摸索出了矩阵的乘法规则。学过矩阵的人都晓得，矩阵乘法最大的特色就是不可交换，亦即AB≠BA。对于这个结果，想必身为物理学家的海森堡起初觉得很奇怪，幸好他对自己的推论颇有信心，并未因此轻易放弃。

此外还有必要强调一点，即使将海森堡的计算改写成矩阵，它们跟一般的矩阵也不太一样，因为这些矩阵拥有无穷多的行列，而不是2x3， 4x4之类的有限阶矩阵。

至于为什么物理量（例如位置、动量）以矩阵形式出现，则是一件很难解释的事。我们只能简单地说，原因可追溯到海森堡只允许“可观测的物理量”出现于计算中。就氢原子而言，最典型的可观测量就是光谱频率，而这些频率都源自两两能阶的差，因此最自然的表现方式就是排成矩阵，例如f21这个元素代表“从第二阶降到第一阶的发射光谱频率”，f23代表“从第二阶升到第三阶的吸收光谱频率”。

由于氢原子中的电子无法直接观测，海森堡认为它的位置和动量不能用传统的方式来理解，换言之，两者（的三个分量）都不可能是传统观念中的纯量。另一方面，既然可观测的物理量只有（排成矩阵的）频率和强度，电子的位置和动量也必须用矩阵来表现，不可能有别的选择──这就是海森堡所谓的“重新诠释”。

不过这种“重新诠释”仅适用于物理量，至于物理量彼此之间的关系，也就是俗称的物理公式，海森堡要求必须保持（古典物理的）原貌。以牛顿第二运动定律（F=ma）为例，在矩阵力学中，力（F）与加速度（a）都要改写成矩阵，但在改写之后，F=ma这个公式依然保留原来的形式。

以上这些概念，虽然在逻辑上完美无瑕，但革命性实在太强，海森堡自己也不太有把握。离开海姑兰岛后，他先绕道汉堡，拜访在那儿任教的包立，请师兄尽量批评指教，结果获得正面的评价。海森堡这才信心满满地回到哥廷根，把论文写好交给老板玻恩审阅。玻恩看完后，当下便有一种似曾相识的感觉，想了几天几夜，终于联想到大学时代学过的矩阵理论。这正是玻恩不同于一般物理学家之处，他其实可以算是半个数学家。

这篇论文不久便顺利发表，就物理学发展史而言，它标志着“旧量子论”自此成为历史，取而代之的是“量子力学”这个统一且完整的物理体系。不过这种说法纯属后见之明，事实上，当时这篇论文（以及玻恩团队随后追加的两篇）并未引起多少回响。主要原因并非矩阵是陌生的数学语言，而是因为海森堡的观念太过超越时代，物理学界一时之间无法接受那么激进的观点。

这大大出乎海森堡意料之外，年轻气盛的他因而相当沮丧，甚至有点心灰意冷。至于他后来如何走出低潮，当然是另一个故事了。

注一：就某方面而言，“海森堡的坚持”颇为类似爱因斯坦在狭义相对论中对时空所采用的操作型定义──只有能被观测的长度和时间才真正有物理意义。因此在1926年春天，海森堡碰到持反对意见的爱氏，两人有过这么一段有趣的对话：

爱：你该不会真的坚持物理理论只能使用可观测量吧？

海：您在相对论中不正是这样做吗？您曾强调“绝对时间”无法测量，所以连提都不能提。时间只能由钟表的读数决定……

爱：或许我的确用过这种观点，即便如此，它还是非常荒谬……

玻恩夫妇的墓碑

注二：矩阵力学的“基石”包括下列三篇完成于1925年下半的论文：

1.〈以量子理论重新诠释运动学与动力学的关系式〉，作者为海森堡

2.〈论量子力学〉，作者为玻恩与约当（P. Jordan， 玻恩的另一位研究助理）

3.〈论量子力学II〉，作者为玻恩、海森堡、约当

第一篇论文的摘要很短，但字字掷地有声：“本研究试图建立一个完全奠基于可观测量彼此关系的量子力学基本体系。”

矩阵语言在第二篇正式出现，相关计算因而变得简洁有力。量子力学的经典公式pq-qp=h/2πi便是出自这篇论文（第38式）。

氢原子能阶的矩阵力学计算非常困难，当年年底由包立独力完成，并未包含在这三篇论文中。