无用之用

提洛岛是爱琴海中的一个岛屿，面积并不大，却在古希腊文明中占有重要地位。传说公元前四世纪，该岛爆发一场大瘟疫，岛民为了消灾，赶忙请示太阳神阿波罗，得到的神谕是：将神殿里的正立方祭坛加倍。不料完工后，岛上瘟疫依然不止。敢情是岛民误解了神谕的意思，将祭坛的长宽高分别延长为两倍，使得体积变成原来的八倍。
由于无人知晓该如何建造体积刚好是两倍的正立方体，他们只好派人前往雅典，求助于当时最有名的学者柏拉图。
接下来就是比较可信的事迹，不久之后，柏拉图的再传弟子梅氏(Menaechmus)想出一个巧妙的解法，能将任意长度a延伸成∛2a。这个解法在数学上完全正确，就建筑学而言也实际可行，偏偏柏拉图很不满意，认为梅氏简直是有辱师门。
问题到底出在哪里呢？
●圆锥曲线的诞生
根据古希腊数学的传统，凡是这种几何作图题，一律只能使用两种工具──圆规和没有刻度的直尺，换言之，只能使用“圆和直线”来解决这类问题。梅氏的方法则要用到抛物线，因此在太师父看来，当然与作弊无异。
但如果抛开柏拉图的感受不谈，梅氏的方法其实是数学史上的重要里程碑。
在现代数学中，抛物线这类“二次曲线”属于解析几何的范畴，想必大家在中学都学过。可是别忘了，解析几何正式出现是十七世纪的事，距离柏拉图足足有两千年之久。
因此，虽然我们不妨借用解析几何来解释梅氏的方法，但请记住这是个“穿越时空”的折衷方案。
梅氏的方法如下：如果祭坛原来的边长等于a，我们只要画出两条抛物线，方程式分别为x2=ay， y2=2ax， 很容易证明两者除了相交于原点，还有一个交点是x=∛2a， y=∛4a， 因此第二个交点的x座标值就是答案。

此外梅氏还发现，如果用双曲线xy=2a2取代上述任何一条抛物线，也能得到正确的结果。但由于古希腊人没有现代座标的概念，梅氏必须用比较辛苦的方式进行计算，在此就不详述了。
另一方面，梅氏制造抛物线和双曲线的方法不但很有创意，而且相当直观，值得好好介绍一番。
在介绍这个方法之前，先讲一个关于创意的小故事：时间大约是1513年，米开朗基罗看到一块大理石，立刻喊道：“摩西在里面，我要把他释放出来！”不久之后，他就完成著名的“摩西像”。这尊雕像虽说是艺术瑰宝，却有个相当违和之处：摩西竟然长了一对犄角！追根究柢，问题出在拉丁文《圣经》翻译品质不佳，摩西头上应该是有几道光芒才对。
回到正题。梅氏和米开朗基罗一样独具慧眼，在平平凡凡的圆锥中，居然看到藏着抛物线和双曲线。“释放”的方法则很简单，只要用一把薄刃的利刀，以不同的角度切开圆锥，形成的“切痕”就不外是抛物线、双曲线或椭圆这三种曲线(正圆则视为椭圆的特例，以下皆同)。
不过，梅氏或许有点偏执，坚持要用胖瘦不同的三种圆锥，分别切出椭圆、抛物线和双曲线。如今我们常见的切法，则是一百多年后另一位数学家阿氏(Apollonius of Perga)所提倡的，亦即使用同一个圆锥，切出上述三种不同的曲线。
因此之故，这三种曲线至今仍统称为圆锥曲线。当然，若要得到完整的双曲线，一个圆锥绝对不够，需要两个圆锥“叠罗汉”才行。

(左)在圆锥上依序切出正圆、椭圆、抛物线与双曲线的一支;(右)在双圆锥上切出完整的双曲线
(图像来源：维基百科)
●暗藏玄机的名字
抛物线、双曲线、椭圆这三个中文名词并没有任何脉络。或许正因为如此，造成初学者不少困扰。“抛物线”这个译名可以顾名思义;“双曲线”则是数学专有名词，其中的“双”是强调它有两段;而“椭圆”最简单，早已成为日常生活的词汇。
另一方面，这三种曲线的英文则很有逻辑：抛物线(parabola)、双曲线(hyperbola)、椭圆(ellipse)分别意味着“平起平坐”、“超过”、“不及”(希腊文源头的意义则稍有不同)。如果我们用“切出抛物线的角度”当作基准，那么双曲线和椭圆就对应于刀面的角度“超过”和“不及”那个基准。因此不妨将这三种曲线翻译成“恰好曲线”、“超过曲线”和“不及曲线”，或是更文雅的“满曲线”、“盈曲线”和“亏曲线”。
就这个观点而言，抛物线刚好介于双曲线和椭圆之间，正如同零刚好介于正数和负数之间。所以抛物线在某些方面类似椭圆(只有一段)，某些性质又类似双曲线(延伸到无限远)。若用伊索寓言来比喻，它就是动物界的蝙蝠。
●有用无用？
再讲个故事，有个年轻学子请教欧几里得一个问题：几何到底有什么用？欧氏立刻板起脸孔答道：既然你要求回报，我给你一个铜板吧！(接下来的情节大可自行想像。)
不管这个故事是真是假，都说明了古希腊学者对数学的态度是“为研究而研究”，并不关心研究成果是否有实际应用。阿氏自然不例外，他对圆锥曲线做了十分完整的探讨，最后写成一本专书，却只字未提圆锥曲线的应用价值。
然而在科学发展史上，经常会出现一种耐人寻味的情形：当时机成熟时，纯数学就会走出象牙塔，成为科学家研究自然现象(甚至社会现象)的有力工具。
最现成的例子，就是圆锥曲线在天文学上的应用。例如克卜勒在十七世纪初，根据大量的观测数据，大胆推测行星轨道都是椭圆(亦即所谓的克卜勒第一定律)。七十多年后，当牛顿撰写《自然哲学的数学原理》时，发现阿氏早就为他准备好了几何工具。换句话说，牛顿是站在阿氏肩上证明出下列事实：太阳系的天体轨道一定是圆锥曲线;椭圆轨道对应于行星和周期彗星，抛物线和双曲线则对应非周期彗星。
从此以后，类似的情节在科学史上不断上演，直到如今。
●意外副产品
回顾圆锥曲线的历史，相信大家应该同意，它可说是欧氏几何的意外副产品。
在欧氏几何中，作图题只能使用圆规与直尺，因此留下所谓的“三大难题”(请参考〈欧几里得故事集〉)，开头提到的“加倍立方体体积”就是其中之一。梅氏不按牌理出牌，用犯规的方法得到解答，虽然不被当时学界认可，却因而开启了圆锥曲线的研究。
由此可见，难题正是数学发展的最佳催化剂。即使难题本身暂时无解，它所催化的结果可能早已开枝散叶，甚至造福人群。
不过，我们还是应该关心一下，后来有没有人找出“加倍立方体体积”的正确解答。
结果或许有点反高潮，公元1837年，法国数学家汪氏(Pierre Wantzel)证明了仅用圆规和直尺绝对无法解决这个问题。然而，负面结果并未折损这道难题的历史地位，好歹它催生出了圆锥曲线理论。在数学中，至少就知名度而言，圆锥曲线远胜于三大难题的任何一题。
有趣的是，圆锥曲线本身也有意外的副产品──用来当作分类的工具。刚才说过，三种圆锥曲线可以翻译成“恰好曲线”、“超过曲线”和“不及曲线”，所以“抛物”、“双曲”、“椭圆”这三个形容词很适合用于三分法。
举例来说，在一八七零年代，非欧几何蓬勃发展之际，德国数学家克莱因(Felix Klein)就曾提倡将两种非欧几何称为“双曲几何”与“椭圆几何”，而将欧氏几何改名为“抛物几何”。
克莱因的倡议成功了三分之二，因为“双曲几何”与“椭圆几何”早已是标准的数学名词。这两种非欧几何也服从上述的历史规律，当时机成熟时，它们走出象牙塔，成为科学家研究宇宙结构的有力工具。不久之后，我们就会好好讨论这段历史。
注一：十九世纪时，三大难题陆续被证明为不可能，其中“三等分任意角”与“加倍立方体体积”的证明出自同一篇论文，另一题“根据圆面积画一个正方形”的负面结果则是林氏(Ferdinand von Lindemann)1882年研究圆周率的副产品。
注二：严格说来，克莱因是根据“射影几何”理论，让抛物线、双曲线、椭圆分别对应1， 2， 0这三个数，藉以呼应“抛物几何对应一条平行线”、“双曲几何对应(至少)两条平行线”以及“椭圆几何对应零条平行线”。
注三：抛物线(parabola)、双曲线(hyperbola)、椭圆(ellipse)这三个名词的源头是阿氏以古希腊文写成的《圆锥曲线》，他所用的“造字规则”其实和圆锥切痕无关，但由于牵涉到太琐碎的细节，在此只能表过就算。